角的平分线：距离相等
讲解
拖一拖 P 到 O 的距离：PM 和 PN 一起变，但始终相等。再把「偏出平分线」的滑块推一下——只要 P 离开平分线，两个距离立刻不相等。这说明「相等」与「在平分线上」是同一件事的两个方向。
性质定理的证明只有三行：OP 公共、∠POM = ∠PON（平分线）、∠PMO = ∠PNO = 90°，由 AAS 得 △POM ≌ △PON，于是 PM = PN。逆定理反过来用 HL：PM = PN、OP 公共、两个直角相等，得全等，于是两个角相等，P 就在平分线上。这正好是本章的完整闭环——性质靠全等证，判定也靠全等证。
- 看到「角平分线」+「求距离」→ 立刻向两边作垂线，用性质定理
- 看到「到两边距离相等」→ 用逆定理，得出在角平分线上（常用来证三点共线或定位置）
- 题目要求「到三边距离相等」→ 内心，三条角平分线的交点
- 作图题写「作法」时，三个步骤都要保留作图痕迹：以 O 为圆心画弧、以交点为圆心等半径画弧、连 O 与交点
现实里能做什么
到两条公路距离相等的地方建加油站
两条公路形成一个角，要在角内选一个到两条公路距离相等的位置建加油站（或消防站），只需作这个角的平分线——线上的每一点到两条路的距离都相等。三角形三条角平分线的交点（内心）到三边等距，所以它是内切圆的圆心：把圆桌塞进三角形房间，圆心就在这里。
知识要点
- 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等（PM = PN）
- 逆定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上
- 「距离」指垂线段的长度，不是任意一条连线
- 证明靠全等：AAS 或 HL 得两个直角三角形全等
- 尺规作图：以 O 为圆心画弧交两边，再以两交点为圆心等半径画弧，连接 O 与交点即为角平分线
典型例题（点击展开题解）
例 1OP 平分 ∠AOB，PC ⊥ OA 于点 C，PD ⊥ OB 于点 D，P…
OP 平分 ∠AOB，PC ⊥ OA 于点 C，PD ⊥ OB 于点 D，PC = 3 cm，求 PD。
- P 在 ∠AOB 的平分线上，到两边距离相等：PC = PD
- 所以：PD = 3 cm
- 若要求证明，用 AAS：∠POC = ∠POD（平分），∠PCO = ∠PDO = 90°，OP 公共：△POC ≌ △POD（AAS）⇒ PC = PD
- 记住「距离」必须是垂线段：如果 PC 不垂直于 OA，那它不是距离，不能直接用这条定理。
PD = 3 cm
例 2点 P 在 ∠AOB 的内部，且 P 到 OA、OB 的距离相等，∠AOB …
点 P 在 ∠AOB 的内部，且 P 到 OA、OB 的距离相等，∠AOB = 80°，求 ∠AOP。
- 到角两边距离相等，说明 P 在角的平分线上：OP 平分 ∠AOB
- 于是：∠AOP = ½ × 80° = 40°
- 逆定理的证明用 HL：作 PM ⊥ OA、PN ⊥ OB，PM = PN，OP 公共，两个直角相等：Rt△POM ≌ Rt△PON（HL）⇒ ∠POM = ∠PON
- 注意前提是「P 在角的内部」：在角的外部，到两边距离相等的点在另一条角平分线（外角平分线）上。
∠AOP = 40°