三角形中位线
讲解
拖动顶点 C：DE 和 BC 都在变，但长度比值永远是 0.5，方向永远平行（图中两个红色角始终相等，是同位角）。同时注意四个小三角形——它们的形状和大小完全一样，各占原三角形的 1/4。
证明的套路值得记牢：延长 DE 到 G，使 EG = DE，连接 CG。由 AE = CE、∠AED = ∠CEG、DE = EG 得 △ADE ≌ △CGE，于是 CG = AD = BD，且 CG ∥ BD——BD 与 CG 平行且相等，由判定③得四边形 BCGD 是平行四边形，所以 DG ∥ BC 且 DG = BC，即 DE = ½DG = ½BC。整条链只用了「全等 + 一组对边平行且相等」，说明中位线定理的根还是平行四边形。
- 求长度：已知第三边求中位线（÷2），已知中位线求第三边（×2）
- 求周长：中点三角形周长 = 原三角形周长的一半
- 证平行：题目要证两条线段平行，而它们的中点关系明显时，用中位线
- 证中点：已知一条线过某边中点且平行于第三边，可推它是另一边的中点
现实里能做什么
隔着池塘量两点距离
要测池塘两端 A、B 的距离，人过不去，皮尺也拉不直。做法：在岸上选一个能同时到达 A、B 的点 C，量出 CA、CB 的中点 D、E，量出 DE 的长度，再乘 2 就是 AB。原理就是中位线定理——不需要相似、不需要三角函数，一把皮尺走天下。测量员在老式地形测绘里常用这个办法。
知识要点
- 定义：连接三角形两边中点的线段叫中位线（一个三角形有 3 条）
- 定理：DE ∥ BC，且 DE = ½ BC
- 一条中位线把三角形分成 1 个小三角形 + 1 个梯形，面积比 1 : 3
- 三条中位线把三角形分成 4 个全等的小三角形，周长是原来的一半、面积是四分之一
- 注意区分中位线（连两边中点）与中线（连顶点与对边中点）
典型例题（点击展开题解）
例 1△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点。若 BC = 10，求 D…
△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点。若 BC = 10，求 DE；若 DE = 3.5，求 BC。
- D、E 是两边中点，DE 是中位线：DE = ½BC
- 已知 BC 求 DE：DE = ½ × 10 = 5
- 已知 DE 反求 BC：BC = 2 × 3.5 = 7
- 顺带记住平行：DE ∥ BC。求长度用它、证平行也用它，方向是双向的。
DE = 5；BC = 7
例 2四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点…
四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。已知 AC = 8，BD = 6，求四边形 EFGH 的周长。
- 在 △ABC 中，E、F 是 AB、BC 的中点，EF 是中位线：EF = ½AC = 4，EF ∥ AC
- 在 △ADC 中，H、G 是 AD、CD 的中点：HG = ½AC = 4，HG ∥ AC
- 同理在 △ABD、△BCD 中：EH = FG = ½BD = 3
- 周长 = 2 × (4 + 3)：周长 = 14
- 顺便得到一个重要结论：EF ∥ HG 且 EF = HG，所以中点四边形 EFGH 一定是平行四边形。
四边形 EFGH 的周长为 14