判定的五条路
讲解
下面这个实验台是一个「四边形的审判庭」：A、B、C 三点固定，D 可以随便拖。五条判定条件会实时亮起 ✔ 或 ✘，边的颜色也在变——某一组对边一旦平行就变绿。任务很简单：把 D 拖到让它们全部亮起的位置，感受一下五条条件为什么是等价的。
- 给了平行 → 走①（两组都平行）或③（一组平行且相等）
- 给了相等 → 走②（两组都相等）或③（配合已有的平行）
- 给了中点 → 走⑤（对角线互相平分），这是中点类题目最顺的路
- 给了角 → 走④（两组对角相等），一般出现在「角平分线 + 平行」的题里
为什么③「一组对边平行且相等」这么受欢迎？因为平行已经给了一对内错角，加上相等，正好凑出全等三角形，于是推出另一组对边也平行——一个条件干了两件事。做题时如果题目里有「平移」「平行四边形中的一条线段」，八成就是③的主场。而①⑤ 是「定义式」和「中点式」，②④ 相对少见但要认得出来。
现实里能做什么
装门框时怎么验「方不方」
木工装门框不靠眼睛看：量两条对角线，如果长度相等、而且交点正好在两条对角线的中点（互相平分），门框就是矩形。如果只相等但不平分，说明上下两条边没对齐；如果平分但不等，那只是普通的平行四边形，装上门会歪。装修中的「拉对角线」，用的就是本章这两个性质。
知识要点
- ① 两组对边分别平行（定义）
- ② 两组对边分别相等
- ③ 一组对边平行且相等（最常用，一个条件顶两个）
- ④ 两组对角分别相等
- ⑤ 对角线互相平分
- 陷阱：一组对边平行、另一组对边相等，不能判定（等腰梯形就是反例）
典型例题（点击展开题解）
例 1▱ABCD 中，E、F 分别在边 BC、AD 上，且 BE = DF。求证：…
▱ABCD 中，E、F 分别在边 BC、AD 上，且 BE = DF。求证：四边形 AECF 是平行四边形。
- 先找平行：A、F 在 AD 上，C、E 在 BC 上，而 AD ∥ BC：AF ∥ EC
- 再算相等：AD = BC（平行四边形对边相等），两边同时减去相等的一段：AF = AD − DF，EC = BC − BE，故 AF = EC
- 一组对边平行且相等：AF ∥ EC 且 AF = EC ⇒ 四边形 AECF 是平行四边形
- 思路总结：题目给「在边上截相等线段」，第一反应就是「整体相等 − 部分相等 = 剩余相等」，配上一组现成的平行，正好走判定③。
四边形 AECF 是平行四边形（一组对边平行且相等）
例 2四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，且 OA = OC，OB…
四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，且 OA = OC，OB = OD。求证：四边形 ABCD 是平行四边形。
- 在 △AOD 与 △COB 中，OA = OC（已知），OD = OB（已知），∠AOD = ∠COB（对顶角）：△AOD ≌ △COB（SAS）
- 全等给出对应边、对应角相等：AD = CB，∠ADO = ∠CBO
- 内错角相等推出平行：AD ∥ CB
- AD 与 CB 平行且相等，由判定③得结论。也可以直接用判定⑤：对角线互相平分的四边形是平行四边形。四边形 ABCD 是平行四边形
四边形 ABCD 是平行四边形