绝对值：只看距离
讲解
绝对值回答的问题是：<b>这个数离原点多远？</b>距离没有方向，所以绝对值永远不小于 0。三条法则其实是一句话：正数的绝对值是它自己，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。
图像最能说明问题：|x| 的图像是尖朝下的 V 形（开口朝上），x ≥ 0 那半边贴着 y = x，x < 0 那半边是它沿 x 轴的翻折。<b>为什么化简 |a| 要先讨论 a 的符号？</b>因为 V 形左右两支用的是两条不同的法则——拖动实验台的 x 滑块，越过 0 的一瞬间公式就换了。
现实里能做什么
快递怎么算「超重多少」
快递限重 5 kg，无论货物是 7 kg 还是 3 kg，都要算「偏差」：|7 − 5| = 2 或 |3 − 5| = 2。误差、涨幅偏差、零件公差，全都是绝对值——因为我们关心的是「差多远」，不是「往哪边差」。物理里速度的平均用带符号的位移，而路程用的是绝对值。
知识要点
- 几何意义：|a| 是 a 到原点的距离，永远 ≥ 0
- 代数法则：a > 0 时 |a| = a；a = 0 时 |a| = 0；a < 0 时 |a| = −a
- 互为相反数的两数绝对值相等：|a| = |−a|
- 化简含字母的绝对值必须先讨论符号；|a| ≥ a 恒成立
典型例题（点击展开题解）
例 1化简：|+7|、|−3.4|、|0|；若 a < 0，化简 |a|。
化简：|+7|、|−3.4|、|0|；若 a < 0，化简 |a|。
- 正数的绝对值是它本身：|+7| = 7
- 负数的绝对值是它的相反数：|−3.4| = 3.4
- 0 的绝对值：|0| = 0
- a < 0，绝对值取相反数：|a| = −a
- 结论：|a| 是「距离」，任何情况下 |a| ≥ 0 且 |a| ≥ a。
7；3.4；0；|a| = −a
例 2已知 |x| = 3，求 x；已知 |x − 1| = 4，求 x。
已知 |x| = 3，求 x；已知 |x − 1| = 4，求 x。
- |x| = 3 表示 x 到原点距离为 3，左右各一个点：x = 3 或 x = −3
- |x − 1| = 4 表示 x 到 1 的距离为 4：x − 1 = 4 或 x − 1 = −4
- 解得：x = 5 或 x = −3
- 本质：绝对值方程通常有两个解，别丢负的那个。
x = 3 或 −3；x = 5 或 −3