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图形的旋转与三要素

九年级上册 · 人教版 · 第二十三章 · 知识点 01 / 7

讲解

风车在转、摩天轮在转、钟表的指针在转——它们的共同点：绕着一个固定点转动，转动中每个点到这个点的距离都不变。这就是旋转。平移管「搬家」，轴对称管「照镜子」，旋转管「转圈」，三种变换合起来是初中几何的全家桶。

拖动「旋转角」滑块，蓝色三角形绕 O 转动；再拖动中心 O 的两个坐标，看看换一个转动中心，图形的运动轨迹怎么变。你会发现一个关键现象：不管中心在哪、角度多大，图形的形状和大小始终没变——变的只有位置和朝向。

描述一次旋转，必须说清三件事：绕着哪个点转（旋转中心）、转多少度（旋转角）、往哪个方向转（顺时针还是逆时针）。缺了任何一件，别人就没法复现你的旋转。对应点也要盯紧：A 转到 A′、B 转到 B′，谁对应谁不能搞错。

  1. 观察 AA′ 弧线：每个点走的都是圆弧，圆心就是旋转中心
  2. OA 与 OA′ 长度始终相等——转动不改变到中心的距离
  3. ∠AOA′ 就是旋转角，它对所有对应点都一样

现实里能做什么

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摩天轮的「旋转中心」是主轴，一次运行转多少度是「旋转角」，正转反转是「方向」。工程师描述任何旋转运动，用的就是课本上这三要素——这不是为了考试发明的术语，是机械行业的通用语言。

知识要点

  • 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向，缺一不可
  • 旋转前后的点互为对应点，如 A 与 A′
  • 数学约定：不指明方向时，默认逆时针（角度为正）

典型例题（点击展开题解）

例 1△AOB 绕点 O 旋转后与 △COD 重合，其中 A 与 C 对应、B 与…
△AOB 绕点 O 旋转后与 △COD 重合，其中 A 与 C 对应、B 与 D 对应。若 ∠AOC = 35°，∠AOB = 40°，求旋转角和 ∠COD。
  1. 找旋转角：旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角。A 与 C 对应，所以 ∠AOC 就是旋转角。
  2. 旋转角 = ∠AOC = 35°。同时 ∠BOD 也等于旋转角（B 与 D 对应），也是 35°——所有对应点的连线夹角都一样。
  3. 求 ∠COD：旋转前后图形全等，对应角相等。∠COD 与 ∠AOB 是对应角。
    ∠COD = ∠AOB = 40°
  4. 注意陷阱：∠AOD 不是旋转角——D 不是 A 的对应点，别看它们挨得近就用。对应关系要跟着字母走。
旋转角是 35°，∠COD = 40°。要点：旋转角认「对应点连线」，对应角认「全等」，两个概念别混。
例 2摩天轮半径 40 m，观光舱从最低点运行到最高点。这个过程中摩天轮转过了多少…
摩天轮半径 40 m，观光舱从最低点运行到最高点。这个过程中摩天轮转过了多少度？哪个角可以看作旋转角？
  1. 确定三要素：旋转中心是摩天轮的主轴 O；观光舱从最低点 A 转到最高点 A′，A 与 A′ 是对应点。
  2. 最低点和最高点在同一条直径的两端，OA 与 OA′ 方向正好相反，夹角是平角。
  3. 所以旋转角 ∠AOA′ = 180°。
    旋转角 = 180°
  4. 顺便感受一下路程：半径 40 m，转半圈观光舱走过的弧长是半个圆周 = π × 40 ≈ 125.6 m——旋转角决定了它走多远。
转过了 180°，旋转角是主轴 O 与最低点、最高点连线所成的角 ∠AOA′。

这个知识点出现在哪些题型里

01 旋转性质证线段：从「绕点旋转」抄出全等 通常是起点 先认清三要素：谁是中心、谁对应谁、转了多少度 02 旋转角计算：认准「对应点连线」 通常是起点 确定对应关系：A 对应 C、B 对应 D 03 坐标系旋转求坐标：三条规律换方向 通常是起点 确认旋转中心是原点、方向是逆还是顺 04 中心对称图形判别：只认「转 180° 重合」 通常是起点 旋转 180° 就是转半圈 05 旋转作图：连、转、截、标 通常是起点 先确定三要素：中心、角度、方向 07 钟表夹角与重合：旋转版的追赶问题 通常是起点 把钟针看成绕表心旋转的射线 08 手拉手模型：旋转全等的压轴用法 通常是起点 把「共顶点的两个等边三角形」看成一个是另一个旋转 60° 得到的

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