旋转的性质
讲解
上一节看的是「现象」，这一节把现象变成「性质」。还是那个三角形，这次重点盯三条灰色连线：中心 O 到原顶点、再到新顶点。
为什么 OA = OA′？因为 A 绕 O 转动时走的轨迹是以 O 为圆心的圆弧，半径当然不变。为什么 ∠AOA′ = ∠BOB′？因为 A 和 B 是「绑在一起」转的，整个图形是刚体——刚体上任何一条线转过的角度都相同。这两条合起来，△OAB 和 △OA′B′ 就满足两边及其夹角相等，全等（SAS）。
「旋转前后全等」这条最好用也最容易被忽视：题目里出现旋转，对应边立刻相等、对应角立刻相等，不用任何计算。很多证明题的第一步就是——识别旋转，抄对应关系。
- 看到「绕点 O 旋转」：先写下 OA = OA′、OB = OB′
- 再写下旋转角：∠AOA′ = ∠BOB′ = θ
- 需要证线段相等时，优先想「它们是不是对应边」
现实里能做什么
齿轮传动的原理
两个咬合的齿轮转动时，接触处的齿走过的弧长必须相同——这靠的正是「对应点到中心距离不变、转角一致」。机械设计里校核齿轮啮合，本质上是在验算旋转的性质。
知识要点
- 旋转前后的图形全等（对应边、对应角都相等）
- 对应点到旋转中心的距离相等：OA = OA′
- 对应点与旋转中心连线夹角 = 旋转角：∠AOA′ = ∠BOB′ = θ
典型例题（点击展开题解）
例 1△ABC 绕点 O 旋转 60° 得到 △A′B′C′。已知 OA = 5 …
△ABC 绕点 O 旋转 60° 得到 △A′B′C′。已知 OA = 5 cm，AB = 3 cm。求 OA′ 的长、∠AOA′ 的度数，以及 A′B′ 的长。
- OA′ 是 OA 的对应线段——A 转到 A′，到中心的距离不变。
- OA′ = OA = 5 cm。OA′ = OA = 5 cm
- ∠AOA′ 是对应点与中心连线的夹角，等于旋转角。
- ∠AOA′ = 60°。∠AOA′ = 60°
- A′B′ 与 AB 是对应边，旋转不改变图形大小（全等）。A′B′ = AB = 3 cm
- 三问全靠两条性质：「到中心距离不变」和「对应边相等」。这类题不需要辅助线，需要的是把性质抄对位置。
OA′ = 5 cm，∠AOA′ = 60°，A′B′ = 3 cm。
例 2△ABC 绕点 O 旋转 45° 后得到 △A′B′C′。若 ∠A = 70…
△ABC 绕点 O 旋转 45° 后得到 △A′B′C′。若 ∠A = 70°，∠B = 50°，求 ∠C′ 的度数。
- 旋转前后全等，对应角相等：∠A′ = ∠A = 70°，∠B′ = ∠B = 50°。
- 在 △A′B′C′ 里用内角和。
- ∠C′ = 180° − ∠A′ − ∠B′。∠C′ = 180° − 70° − 50° = 60°
- 其实先算 ∠C = 180° − 70° − 50° = 60°，再由对应角相等得 ∠C′ = 60°，两条路都通——「旋转全等」保证了怎么走都不会错。
∠C′ = 60°。旋转不改变任何角度和长度，求原图形的角就是求新图形的角。