位似变换
讲解
普通相似只管形状，位似还规定：所有对应点的连线必须穿过同一个点——位似中心。这让它可以用坐标一刀切地计算：乘个 k 就完事。拖动滑块看 k 的符号和大小怎么控制像的位置、方向和大小。
把 k 拖到负数区，像三角形穿过位似中心翻到另一侧，方向整个倒转——这就是「负位似」。k = −1 时它退化成中心对称。做题时题目常问「以 O 为位似中心，把 △ABC 缩小到原来的一半」，这样的像有两个：k = 0.5（同侧）和 k = −0.5（异侧），漏答异侧是高频丢分点。
- 以原点为位似中心、位似比 k：(x, y) → (kx, ky)
- 位似比 k 由对应点坐标求出：k = x′/x = y′/y（同一点算出来必须一致）
- 一个原图形关于某中心的位似像有两个（k 与 −k），题目没限定同侧时要写全
- 位似不改变图形的形状，只改变大小与位置（以及 k < 0 时的朝向）
位似中心不一定在原点。若中心是 C(x₀, y₀)，变换是 (x, y) → (x₀ + k(x−x₀), y₀ + k(y−y₀))——先平移到原点算，再平移回去。中考主要考原点位似，但识别「中心不在原点」的图形也是常考的读图能力。
现实里能做什么
投影仪与缩略图的同一套数学
投影仪把幻灯片放大到幕布上，光源就是位似中心：胶片上每个点到光源的直线延长后落在幕布上，构成放大的像——胶片、光源、幕布三点一线，正是 (x, y) → (kx, ky) 的现实版。手机相册的缩略图也是位似：以某个中心把原图按 k = 1/20 缩小。放大镜、灯塔光影、皮影戏，全是「连线共点」的位似。
知识要点
- 位似图形一定相似，但相似图形不一定位似（位似多要求连线共点）
- 坐标规则：以原点为中心、位似比 k，则对应点坐标为 (kx, ky)
- k > 0 像与原形同侧；k < 0 像翻到中心另一侧（倒置）
- |k| > 1 放大，|k| < 1 缩小，|k| = 1 且 k = −1 时是关于原点的中心对称
典型例题（点击展开题解）
例 1△ABC 三个顶点坐标为 A(2, 1)、B(4, 2)、C(2, 4)。以…
△ABC 三个顶点坐标为 A(2, 1)、B(4, 2)、C(2, 4)。以原点 O 为位似中心，位似比为 k = −1.5，写出像 △A′B′C′ 各顶点坐标，并说明像与原三角形的位置关系。
- 坐标规则：以原点为中心，(x, y) → (kx, ky)。k = −1.5
- 逐点计算：A′(−3, −1.5)，B′(−6, −3)，C′(−3, −6)
- k < 0，像在位似中心的另一侧（第三象限），且方向倒转——对应边平行但对应顶点的绕向相反。|k| = 1.5 > 1，放大到原来的 1.5 倍
A′(−3, −1.5)、B′(−6, −3)、C′(−3, −6)。像与原形分居原点两侧（k < 0 异侧位似），大小放大 1.5 倍。若题目只说「缩小到原来的 2/3」，k = ±2/3 都合法，要写两个像。