斜边上的高与射影定理
讲解
从直角顶点向斜边作一条高，图形立刻变成「母子里抱着两个小子」：△ACD、△CBD、△ABC 两两相似。母型的证据是同角的余角相等，子型的证据是它和母型共享一个锐角——全是 AA 判定，不需要任何新定理。
拖动两条直角边，info 区里三个等式始终成立。观察 CD 的公式：CD = ab/c——两直角边的乘积除以斜边。这其实是面积的另一种算法：½·AC·BC = ½·AB·CD，同一个三角形用两对底和高，一约就得到 ab/c，射影定理和面积法在这里握手。
- △ACD ∽ △CBD ∽ △ABC（对应顶点顺序不能写错：A↔C↔A、C↔B↔B、D↔D↔C）
- AC² = AD·AB，BC² = BD·AB，CD² = AD·BD（射影定理三件套）
- CD = AC·BC/AB（面积法，最顺手的一条）
- AD = AC²/AB，BD = BC²/AB（斜边被高分段）
「射影」指投影：CD 在斜边上的影子是 D 点的位置，AC 的影子是 AD。把「平方 = 两段乘积」翻译成「比例中项」，就是 b² = ac 的几何样子。考试里这组图形经常和圆周角定理结合——直径所对的圆周角是直角，再作高，就回到了这张图。
现实里能做什么
墙角斜靠的梯子与地面留下的投影
梯子斜靠墙，梯子是斜边，墙和地面是两条直角边，从梯子中段垂直「落」向地面的支撑点问的就是射影：梯子在地面上的影长 = 梯长 × cos 角度，梯子两端在地面的投影之间的距离关系正是 AC² = AD·AB 型的比例。装修工人量「梯子中段离墙的距离」来算梯子有没有滑，用的就是这张母子图。
知识要点
- 一个直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形，三个三角形彼此相似
- AC² = AD·AB：直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项
- CD² = AD·BD：高是两条射影的比例中项
- 这组等式不用死背：现场写一组相似（△ACD ∽ △ABC），对应边一乘就出来
典型例题（点击展开题解）
例 1Rt△ABC 中 ∠C = 90°，CD ⊥ AB 于 D，AC = 6，B…
Rt△ABC 中 ∠C = 90°，CD ⊥ AB 于 D，AC = 6，BC = 8。求 AB、CD、AD、BD 的长。
- 勾股定理先求斜边：AB = √(6² + 8²) = 10
- 面积法两算同一个三角形（½·AC·BC = ½·AB·CD）：CD = AC·BC/AB = 48/10 = 4.8
- 射影定理求两段斜边：AD = AC²/AB = 36/10 = 3.6，BD = BC²/AB = 64/10 = 6.4
- 验证 CD² = AD·BD：4.8² = 23.04，3.6 × 6.4 = 23.04 ✓
AB = 10，CD = 4.8，AD = 3.6，BD = 6.4。这是 3-4-5 勾股数放大 2 倍的三角形，全是有理数。AD + BD = 10 与斜边吻合。
例 2Rt△ABC 中 ∠ACB = 90°，CD ⊥ AB 于 D，BD = 2…
Rt△ABC 中 ∠ACB = 90°，CD ⊥ AB 于 D，BD = 2，AD = 8。求 CD 与两条直角边，并求 tanA。
- 射影定理直接给高：CD² = AD·BD = 16 ⇒ CD = 4
- 两条直角边：AC² = AD·AB = 8 × 10 = 80 ⇒ AC = 4√5；BC² = BD·AB = 2 × 10 = 20 ⇒ BC = 2√5
- 斜边核对：AB = AD + BD = 10，(4√5)² + (2√5)² = 80 + 20 = 100 = 10² ✓
- tanA = 对边/邻边：tanA = BC/AC = 2√5 / 4√5 = 1/2
CD = 4，AC = 4√5，BC = 2√5，tanA = 1/2。这题反过来给射影条件求原形——CD² = AD·BD 是三个等式里唯一「只用两段斜边」的，已知 AD、BD 时永远从它起步。