相似三角形的性质
讲解
两个相似三角形共享一个角嵌套着画，k 一拖，看得最清楚：周长按 k 走，面积按 k² 走。这个「平方」是本章最容易翻车的地方。
为什么面积是 k²？面积 = 底 × 高 ÷ 2。底缩成 k 倍，高也缩成 k 倍，乘起来就是 k² 倍。把这条想透，遇到「面积比 4 : 9 求周长比」就不会犯「周长比也是 4 : 9」的错——开方，2 : 3。
- 对应高之比 = 对应中线之比 = 对应角平分线之比 = k
- 周长比 = k，面积比 = k²
- 面积比 4 : 9 ⇒ k = 2 : 3；面积比 1 : 2 ⇒ k = 1 : √2
- 两个相似多边形的对应对角线之比也是 k（对角线把图形拆成相似三角形）
性质和判定是逆运算关系：判定是从「角、边」证相似，拿到 k；性质是从 k 推出「高、中线、周长、面积」。做题流程永远是：先证相似（别跳过），再挑合适的性质算目标量。直接拿「看着像」就用面积比，是推理题的大忌。
现实里能做什么
地图的比例尺为什么面积不能直接换算
地图比例尺 1 : 100000 是长度比，即相似比 k = 0.00001。你在图上量出一块湖面 2 cm²，实际面积不是 2 × 100000 cm²，而是 2 × 100000² cm² = 2 km²——面积要乘 k²。工程预算、卫星图上的灾区面积估算，全部遵循这条 k² 律：长度缩一万倍，面积缩一亿倍。
知识要点
- 对应边、对应高、对应中线、对应角平分线之比 = 相似比 k
- 周长之比 = 相似比 k（周长是一维长度）
- 面积之比 = k²（面积是二维量）——反求 k 必须开平方
- k > 0：由相似写比例时永远用正数，方向（谁比谁）才是丢分点
典型例题（点击展开题解）
例 1两个相似三角形的面积比是 9 : 25。小三角形的周长为 12 cm，一条对…
两个相似三角形的面积比是 9 : 25。小三角形的周长为 12 cm，一条对应高为 3 cm。求大三角形的周长与对应高。
- 面积比 = k²，所以相似比是面积比的开方：k = √(9/25) = 3/5
- 周长比 = 相似比：大周长 = 12 ÷ (3/5) = 20 cm
- 对应高之比也是相似比：大高 = 3 ÷ (3/5) = 5 cm
大三角形周长 20 cm，对应高 5 cm。关键一步：面积比 9 : 25 开方得相似比 3 : 5，直接拿 9 : 25 当长度比是本章最经典的错误。
例 2△ABC ∽ △DEF，相似比为 2 : 3。△ABC 的面积为 8，BC …
△ABC ∽ △DEF，相似比为 2 : 3。△ABC 的面积为 8，BC 边上的高为 2。求 △DEF 的面积与 EF 边上的高，并求两三角形周长之和与面积之和（已知 △ABC 周长为 10）。
- 面积比 = k² = 4 : 9，大三角形面积：S△DEF = 8 × 9/4 = 18
- 对应高之比 = k = 2 : 3：EF 边上的高 = 2 × 3/2 = 3
- 周长比 = k = 2 : 3，大周长 = 10 × 3/2 = 15：周长之和 = 10 + 15 = 25
- 面积之和：8 + 18 = 26
△DEF 面积 18、EF 边上的高 3；周长之和 25，面积之和 26。三种量三套比：高和周长用 k，面积用 k²。