相似三角形的判定
讲解
全等三角形判定有 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五条，相似只要三条，而且第一条最常用。拖动两个角：两个三角形的形状同时变——两个角就足以锁死形状。
AA 判定好用的根本原因：角度是「免费」的。公共角（两个三角形叠在一起共享的那个角）、对顶角（X 型交点处）、同位角（有平行线就送一对）、直角（有垂直就送）——都不需要计算，看见了就能写。所以证相似的常规路径是：先扫一眼图里有没有免费等角，再想办法凑第二个。
- AA：∠A = ∠A′ 且 ∠B = ∠B′ ⇒ 相似（最常用，优先找公共角）
- SAS：AB/A′B′ = AC/A′C′ 且 ∠A = ∠A′ ⇒ 相似（夹角必须相等）
- SSS：AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C′ ⇒ 相似（三组都要验）
- 两角互余的两个三角形必相似（各有一个直角 + 互余的锐角）
- 警惕 SSA：两边成比例 + 其中一边的对角相等，不能判定相似（可能出两种形状）
SAS 的「夹角」容易踩坑：给的两条边必须夹着那个相等的角。如果相等角是两条边的对角，就退化成了 SSA——全等判定里 SSA 不成立，相似里同样不成立。写证明时先检查角的地位再动笔。
现实里能做什么
一二层楼的窗户为什么「看起来一样大」
同一面墙上，二楼窗户实际尺寸与一楼完全相同，但站在楼下看，二楼的窗户显得小——视网膜上的像是视线锥截出来的：瞳孔到窗的连线构成一个三角形，距离变远，像就按比例缩小，形状不变。这正是「相似比只管大小、形状照旧」的日常体验。同样原理，画家画远景时把远处的树画小，就是画了一组相似形。
知识要点
- AA：两角对应相等即可，第三对角由内角和自动补齐
- SAS：两组对应边成比例 + 夹角相等（必须是两边的夹角，不能是其中一边的对角）
- SSS：三组对应边都成比例（只查两组不够——SSA 不能判定相似）
- 公共角、对顶角、同位角、直角：找等角的四大免费来源
典型例题（点击展开题解）
例 1△ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点，且 ∠ACD…
△ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点，且 ∠ACD = ∠B（A、D、B 共线，C、E 共线于 AC 延长线）。求证：△ACD ∽ △ABC。
- 找免费等角：∠A 是 △ACD 与 △ABC 的公共角。∠A = ∠A
- 题目给了第二个等角：∠ACD = ∠B
- 两角对应相等，AA 判定成立：△ACD ∽ △ABC
- 顺便写出一组有用的比例（对应边 AC↔AB、AD↔AC）：AC/AB = AD/AC，即 AC² = AD·AB
由公共角 ∠A 与已知 ∠ACD = ∠B，AA 判定得 △ACD ∽ △ABC，且 AC² = AD·AB（这就是「母子型」的雏形——把这里的直线换成圆的切线，就是切割线定理）。
例 2△ABC 中，D 在 AB 上且 AD/DB = 2/3，AC = 4。E …
△ABC 中，D 在 AB 上且 AD/DB = 2/3，AC = 4。E 在 AC 上，若 △ADE 与 △ABC 相似且 ∠AED = ∠C，求 AE 的长。判断用了哪条判定定理。
- ∠A 是公共角，题目给 ∠AED = ∠C——两角对应相等（AA）。∠A = ∠A，∠AED = ∠C
- AA 成立 ⇒ △ADE ∽ △ACB（注意对应顺序：E 对 C，D 对 B）。△ADE ∽ △ACB
- 对应边成比例：AE 对 AC，AD 对 AB。AE/AC = AD/AB
- AD/DB = 2/3 ⇒ AD/AB = 2/5，代入：AE = AC × 2/5 = 4 × 2/5 = 1.6
AE = 1.6，用的是 AA 判定（公共角 + 已知等角）。易错点：△ADE ∽ △ACB 而不是 △ABC——对应顶点的顺序由等角决定，∠AED 对 ∠C，所以 E 配 C、D 配 B。