边角边（SAS）与「边边角」陷阱
讲解
SAS 的关键在「夹角」两个字。下面这个实验台专门演示反例：已知两边 AB 与 AC、以及不是夹角的 ∠B，拖一拖 AC 的长度，你会看到符合条件的三角形有时是<b>两个</b>（C₁、C₂），有时一个都没有。既然同样的三个条件能画出不同形状，它就不能当判定。
什么时候边边角只剩一个解？当 AC 恰好垂直于 BC 时（此时 ∠C = 90°），以 A 为圆心的弧与射线 BC 相切，两个交点重合——这时它就是直角三角形，边边角升级成「HL」，成了合法的判定。这也解释了为什么 HL 只在直角三角形里成立。
- 证 SAS 时按「边—角—边」顺序写，角一定夹在两条边中间
- 对顶角相等是最常见的白送条件（两条直线相交处）
- 角平分线、垂直、中点都是「造等角、造等边」的常用工具
- SSA 出现的标志：题目给的是「两边 + 其中一边的对角」，这时要么改走别的判定，要么先证它是直角三角形
现实里能做什么
量池塘两端距离的经典做法
要测池塘两端 A、B 的距离，人过不去。在岸边选一点 O，延长 AO 到 C 使 OC = OA，延长 BO 到 D 使 OD = OB，只要量出 CD，就知道 AB = CD。理由是 △AOB ≌ △COD（SAS：OA = OC、∠AOB = ∠COD 对顶角、OB = OD）。测量员用的「对顶角全等法」，本质就是 SAS。
知识要点
- SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
- 「夹角」指两条已知边所夹的那个角，不能是其中一边的对角
- 边边角（SSA）不能判定全等：符合条件的三角形可能有两个，也可能没有
- 常用隐含条件：对顶角、公共角、角平分线给出的等角、垂直给出的直角
- 判定书写时先写边、再写角、再写边，让人一眼看出是夹角
典型例题（点击展开题解）
例 1AB = AD，∠BAC = ∠DAC，BC = 5 cm，求 DC。
AB = AD，∠BAC = ∠DAC，BC = 5 cm，求 DC。
- 两个三角形共用一条边 AC：AC = AC
- 把条件按「边—角—边」排好（∠BAC 夹在 AB 与 AC 之间，∠DAC 夹在 AD 与 AC 之间）：AB = AD，∠BAC = ∠DAC，AC = AC
- 两边及其夹角分别相等：△ABC ≌ △ADC（SAS）
- 对应边相等，BC 对应 DC：DC = BC = 5 cm
DC = 5 cm
例 2O 是线段 AB 的中点，也是线段 CD 的中点。求证：AC = BD。
O 是线段 AB 的中点，也是线段 CD 的中点。求证：AC = BD。
- 中点给出两组相等线段：OA = OB，OC = OD
- AB 与 CD 相交于 O，产生对顶角：∠AOC = ∠BOD
- 两边及其夹角分别相等：△AOC ≌ △BOD（SAS）
- 由全等得对应边相等：AC = BD
- 这个图形就是「对顶角全等法」测距的原理图：量不着的一端，用另一端替它。
AC = BD（△AOC ≌ △BOD，SAS）
例 3要测池塘两端 A、B 的距离。在池塘外取一点 O，延长 AO 到 C 使 O…
要测池塘两端 A、B 的距离。在池塘外取一点 O，延长 AO 到 C 使 OC = OA，延长 BO 到 D 使 OD = OB，测得 CD = 24 m。求 AB。
- 由作图知：OA = OC，OB = OD
- AB 与 CD 相交于 O，对顶角相等：∠AOB = ∠COD
- 两边及其夹角分别相等：△AOB ≌ △COD（SAS）
- 由全等得对应边相等：AB = CD = 24 m
- 这就是「不可直接测量的距离」的标准解法：把要测的线段搬到能测的地方，靠全等保证搬运不改变长度。
AB = 24 m