平行四边形的性质：对边相等、对角相等
讲解
先从定义下嘴：两组对边分别平行的四边形，叫平行四边形。定义里只有「平行」两个字，其他一切都得推出来。推的工具也很简单——连一条对角线，把平行四边形切成两个三角形，然后用内错角证全等。下面这个实验台可以同时拖底边、斜边和夹角，注意看两件事：不管怎么拖，红色标记的两条对边永远一样长，绿色标记的两条也永远一样长；而且 ∠A 永远等于 ∠C，∠B 永远等于 ∠D。
证明的思路只有一句话：连 AC，因为 AB ∥ CD 得 ∠BAC = ∠DCA，因为 AD ∥ BC 得 ∠BCA = ∠DAC，再加公共边 AC，由 ASA 得 △ABC ≌ △CDA。于是 AB = CD、AD = BC、∠B = ∠D。另一组对角 ∠A = ∠C，是「等角加等角」（∠DAB = ∠DAC + ∠CAB，∠BCD = ∠BCA + ∠ACD）。所有性质都从这一对全等三角形里来。
- 已知一个角，能求出另外三个角：对角相等、邻角互补，一秒出结果
- 已知周长与一条边，能求出另外三条边：周长 ÷ 2 减去已知边 = 邻边
- 已知一边与高，能求面积：S = 底 × 高（不是底 × 邻边，这点最容易错）
- 对角线把平行四边形分成两个全等三角形，面积各占一半——很多面积题的入口
两个容易踩的点提前说清：第一，平行四边形的对角线<b>不相等</b>（相等就变成矩形了），但一定互相平分；第二，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形——沿对角线折过去是合不上的，除非它恰好是矩形或菱形。判断「是不是轴对称」时，别凭感觉，找一条直线折一下看对不对得上。
现实里能做什么
伸缩门与活动衣架
小区门口的伸缩门、家里的晾衣架、折叠伞骨，用的都是平行四边形的「不稳定性」：四根连杆长度不变，但夹角可以随便变，所以能伸能缩。反过来，要固定形状就加一根斜撑——三角形一旦边长确定，形状就锁死了。工业上这叫「四边形机构」，本质就是本章第一条性质：对边相等但角不固定。
知识要点
- 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，记作 ▱ABCD
- 对边相等：AB = CD，AD = BC（一组对边相等不能说，必须「两组」）
- 对角相等：∠A = ∠C，∠B = ∠D；邻角互补：∠A + ∠B = 180°
- 周长 = 2(AB + BC)；面积 = 底 × 高（高是两条平行线间的距离）
- 是中心对称图形（对称中心为对角线交点），一般不是轴对称图形
典型例题（点击展开题解）
例 1▱ABCD 的周长为 28 cm，AB = 8 cm，求 BC、CD、AD …
▱ABCD 的周长为 28 cm，AB = 8 cm，求 BC、CD、AD 的长。
- 平行四边形的对边相等，所以周长 = 2(AB + BC)：2(8 + BC) = 28
- 解出 BC：8 + BC = 14，BC = 6
- 对边相等，直接写出另外两条边：CD = AB = 8，AD = BC = 6
- 验算：8 + 6 + 8 + 6 = 28，与周长一致。
BC = 6 cm，CD = 8 cm，AD = 6 cm
例 2▱ABCD 中，∠A = 65°，求 ∠B、∠C、∠D 的度数。
▱ABCD 中，∠A = 65°，求 ∠B、∠C、∠D 的度数。
- 对角相等，∠C 与 ∠A 相对：∠C = ∠A = 65°
- 邻角互补（AD ∥ BC，同旁内角），∠B 与 ∠A 相邻：∠B = 180° − 65° = 115°
- ∠D 与 ∠B 是对角：∠D = ∠B = 115°
- 验算：65 + 115 + 65 + 115 = 360°，四边形内角和正确。
∠B = 115°，∠C = 65°，∠D = 115°
例 3▱ABCD 中，∠A : ∠B = 1 : 2，求四个内角的度数。
▱ABCD 中，∠A : ∠B = 1 : 2，求四个内角的度数。
- 设 ∠A = x，则 ∠B = 2x。∠A 与 ∠B 是邻角，互补：x + 2x = 180°
- 解得：x = 60°，∠A = 60°，∠B = 120°
- 用对角相等补齐：∠C = ∠A = 60°，∠D = ∠B = 120°
- 结论：这个平行四边形的两组角分别 60° 和 120°，一半的角是锐角、一半是钝角，不可能出现两组都是锐角。
∠A = ∠C = 60°，∠B = ∠D = 120°