对角线互相平分
讲解
把两条对角线都画出来，交点记作 O。拖一拖夹角和边长，你会发现不管形状怎么变，OA 永远等于 OC、OB 永远等于 OD——这就是「对角线互相平分」。图中四条颜色块的面积也永远相等，各占总面积的 1/4。
拖动「直线 EF 的倾斜角」，绿色直线绕 O 转一圈：不管转到哪里，OE 始终等于 OF，两边面积始终各占一半。原因是平行四边形是中心对称图形，O 是它的对称中心——把图形绕 O 转 180°，边 AD 落到 CB 上，点 E 也就落到了 F 上。这条性质在压轴题里经常以「过对角线交点的直线」的形式出现，看到这几个字就要条件反射想到：被平分、面积相等。
- 求线段长：已知一条对角线，直接对半分（AC = 10 → OA = OC = 5）
- 求三角形周长：△AOB 的周长 = AB + ½AC + ½BD，把对角线拆成两半再加边长
- 证平行四边形：OA = OC 且 OB = OD → 四边形是平行四边形（判定第五条）
- 等面积：4 个小三角形面积相等；过 O 的任意直线把图形二等分
这里有个高频陷阱：题目说「对角线相等」，千万不能推出「互相平分」；说「互相平分」，也不能推出「相等」。两条都成立时，它才是矩形。反例很好找——等腰梯形的对角线相等，但不平分；一般平行四边形对角线平分，但不等。答题时把两个性质分清楚，是这一章最容易拿到也最容易丢的分。
现实里能做什么
一块平行四边形的地，怎么公平地分给两家
农村分地、遗产分割常遇到平行四边形的地块。想把它一分为二且面积相等，不必量边长、不必算面积——连两条对角线，找到交点 O，然后过 O 拉一根绳子（方向随便），沿绳子划开，两边面积必然相等。因为平行四边形绕 O 旋转 180° 与自身重合，绳子的每一半都被 O 平分，剪下来的两块自然一样大。
知识要点
- 对角线互相平分：OA = OC，OB = OD（O 为交点）
- 两条对角线把平行四边形分成 4 个面积相等的小三角形，各占 1/4
- 过交点 O 的任意一条直线，交两边于 E、F，则 OE = OF，且这条直线把面积平分
- 逆命题成立：对角线互相平分的四边形是平行四边形
- 注意区分：对角线「互相平分」是一般平行四边形就有；对角线「相等」只有矩形才有
典型例题（点击展开题解）
例 1▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AC = 10 cm，BD =…
▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AC = 10 cm，BD = 14 cm，AB = 6 cm，求 △AOB 的周长。
- 对角线互相平分，O 是两条对角线的中点：OA = ½AC = 5，OB = ½BD = 7
- △AOB 三边为 OA、OB、AB：周长 = 5 + 7 + 6
- 相加：周长 = 18 cm
- 记忆点：这类题只要把两条对角线各除以 2 就够了，不需要知道夹角，也不需要求其他边。
△AOB 的周长为 18 cm
例 2▱ABCD 的对角线交于点 O，过 O 的直线交 AD 于 E、交 BC 于…
▱ABCD 的对角线交于点 O，过 O 的直线交 AD 于 E、交 BC 于 F。已知 ▱ABCD 的面积为 24，求四边形 ABFE 的面积。
- AD ∥ BC，所以 ∠EAO = ∠FCO（内错角）；又 OA = OC，∠AOE = ∠COF（对顶角）：△AOE ≌ △COF（ASA）
- 全等给出 OE = OF，且两个三角形面积相等：S△AOE = S△COF
- 更省事的看法：平行四边形关于 O 中心对称，绕 O 转 180° 后四边形 ABFE 恰好落到四边形 CDEF 上，两块面积相等，合起来是总面积：S四边形ABFE = S四边形CDEF = ½ × 24 = 12
- 结论：过对角线交点的任意一条直线，都把平行四边形的面积二等分。
四边形 ABFE 的面积为 12