用坐标表示轴对称
讲解
坐标系其实就是给「折叠」配了一把尺子。下面这个实验台里，拖动 P 的横、纵坐标，四个点会一起动：P₁ 是 P 沿 x 轴折下去的，P₂ 是沿 y 轴折过去的，P₃ 则是对着原点翻过去的。注意看虚线——它们的中点永远落在对称轴上。
为什么关于 x 轴对称是 y 变号？因为这两个点的连线是竖直的，中点落在 x 轴上，中点的纵坐标是 (y + y′)/2 = 0，所以 y′ = −y；而横坐标不变，所以连线才竖直。同理关于 y 轴对称时，中点的横坐标 (x + x′)/2 = 0，得 x′ = −x。
- 口诀：关于 x 轴 → y 变号；关于 y 轴 → x 变号；关于原点 → 都变号
- 关于直线 x = a 对称：横坐标变为 2a − x（因为 (x + x′)/2 = a），纵坐标不变
- 关于直线 y = b 对称：纵坐标变为 2b − y
- 作图题先算坐标再连线，比凭感觉画准确；求面积的题可以把它补成矩形再减法
现实里能做什么
电脑里的「水平翻转」按钮
画图软件、手机相册里的「水平翻转」「垂直翻转」，做的就是坐标变换：水平翻转把所有点的 x 换成 −x，垂直翻转把 y 换成 −y，旋转 180° 则两个都变号。游戏里的角色左右移动、镜像贴图、建筑图纸的对称绘制，背后都是这几行公式。理解「对称轴是两点连线的中垂线」，就不需要死记任何一条规律。
知识要点
- 点 (x, y) 关于 x 轴对称的点是 (x, −y)：横坐标不变，纵坐标互为相反数
- 点 (x, y) 关于 y 轴对称的点是 (−x, y)：纵坐标不变，横坐标互为相反数
- 点 (x, y) 关于原点对称的点是 (−x, −y)：横、纵坐标都变号（这是中心对称）
- 推广：关于直线 x = a 对称 → (2a − x, y)；关于直线 y = b 对称 → (x, 2b − y)
- 坐标规律的本质：对称轴垂直平分对应点连线，所以中点的横（或纵）坐标等于轴的位置
- 在坐标系中画对称图形：先求各关键点的对称点坐标，再依次连接
典型例题（点击展开题解）
例 1点 P(−3, 4) 关于 x 轴对称的点是 P₁，关于 y 轴对称的点是 …
点 P(−3, 4) 关于 x 轴对称的点是 P₁，关于 y 轴对称的点是 P₂，关于原点对称的点是 P₃，分别写出它们的坐标。
- 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变号。P₁(−3, −4)
- 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变号。P₂(3, 4)
- 关于原点对称：两个坐标都变号。P₃(3, −4)
- 检验：P 与 P₁ 的中点 (−3, 0) 在 x 轴上，连线竖直，符合「对称轴垂直平分对应点连线」。
P₁(−3, −4)，P₂(3, 4)，P₃(3, −4)
例 2已知点 A(a, 3) 与点 B(−2, b) 关于 x 轴对称，求 a +…
已知点 A(a, 3) 与点 B(−2, b) 关于 x 轴对称，求 a + b 的值。
- 关于 x 轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数。a = −2，b = −3
- 代入求值。a + b = −2 + (−3) = −5
- 若条件改为「关于 y 轴对称」，则是纵坐标相同、横坐标互为相反数：a = 2，b = 3，a + b = 5。看清是关于哪条轴对称。
−5