待定系数法与实际建模
讲解
待定系数法只有四步：设 y = kx + b → 代两个点得两个方程 → 解出 k、b → 写出解析式。两个方程相减时 b 自动消掉，这就是 k = Δy/Δx 的来源。拖动下图的 A、B 两点，直线和解析式同步变化。
实际建模的关键动作是「找固定部分和变化部分」：固定部分 → b，每单位变化 → k。出租车起步价是 b，超出部分每公里单价是 k，还常常要分段（免费里程内 y = 起步价）。下面的实验台把两家公司的收费画在同一张图上，交点就是该换方案的分水岭。
- 行程问题：路程 = 速度 × 时间；相遇用「路程和」，追及用「路程差」
- 分段计费：先写清分界点（如 3 km），再写各段解析式
- 方案比较三步：写两式 → 解方程找交点 → 分区间下结论
- 结果要检验：把答案代回原情境，看是否符合实际（里程不能为负等）
现实里能做什么
从两个数据点推公式
只测了两组数据——比如 3 公里收费 14 元、8 公里收费 26 元——就能反推出计价公式：k = (26−14)/(8−3) = 2.4 元/公里，b = 14 − 2.4×3 = 6.8 元起步。工程上、实验里，用两个点估一条直线是最常用的建模手法。
知识要点
- 待定系数法：设 y = kx + b，代入两点解方程组（相减消 b）
- k = Δy/Δx（两点纵差比横差）
- 分段函数：不同区间用不同解析式（如出租车免费里程）
- 方案比较：写两式 → 求交点 → 分区间结论
典型例题（点击展开题解）
例 1一次函数的图象经过点 A(1, 3) 和 B(−1, −1)，求它的解析式。
一次函数的图象经过点 A(1, 3) 和 B(−1, −1)，求它的解析式。
- 设解析式为：y = kx + b
- 代入两点得方程组：k + b = 3；−k + b = −1
- 两式相减消 b：2k = 4 ⇒ k = 2
- 代回求 b：2 + b = 3 ⇒ b = 1
- 验证另一点：x = −1 时 y = −2 + 1 = −1 ✓
y = 2x + 1。快速法：k = Δy/Δx = (3−(−1))/(1−(−1)) = 2，再用一点求 b。
例 2某市出租车：起步价 10 元（含 3 km），超过 3 km 的部分每公里 …
某市出租车：起步价 10 元（含 3 km），超过 3 km 的部分每公里 2.4 元。① 写出车费 y（元）与里程 x（km）的函数关系；② 求 8 km 的车费；③ 若付了 29.2 元，行驶了多少公里？
- ① 分段：0 < x ≤ 3 时只付起步价；x > 3 时加超出部分。y = 10 (0<x≤3)；y = 10 + 2.4(x−3) = 2.4x + 2.8 (x>3)
- ② x = 8 > 3，代入第二段：y = 2.4 × 8 + 2.8 = 22
- ③ 29.2 > 10，说明超过 3 km，反解：2.4x + 2.8 = 29.2 ⇒ x = 11
① y = 10（0<x≤3），y = 2.4x + 2.8（x>3）；② 22 元；③ 11 km。分段函数必须先看清分界点，再判断该用哪一段——用错段是这类题最大的失分点。
例 3甲从 A 地以 60 km/h 匀速出发，2 小时后乙从 A 地以 90 k…
甲从 A 地以 60 km/h 匀速出发，2 小时后乙从 A 地以 90 km/h 沿同一路线追赶。乙出发几小时后追上甲？追上时距 A 地多远？
- 设乙出发后 t 小时追上。甲已领先 60 × 2 = 120 km。
- 甲的总路程（从乙出发算起）：s甲 = 120 + 60t
- 乙的路程：s乙 = 90t
- 追及条件 s甲 = s乙：120 + 60t = 90t ⇒ t = 4
- 追上位置：s = 90 × 4 = 360 km
乙出发 4 小时后追上，距 A 地 360 km。行程建模三步：写两个 s-t 解析式 → 令相等 → 解方程。相遇问题改成「路程和等于总距离」。