平均数与加权平均数
讲解
把 8 个数据想成跷跷板上 8 个一样重的砝码：平均数就是让跷跷板恰好平衡的支点位置。图中每个点到支点的红色虚线段是它的偏差，左边偏差之和恰好等于右边偏差之和——这就是 Σ(x − x̄) = 0 的几何意义。拖动红色那个数据，支点会跟着慢慢移动。
加权平均数的场景无处不在：成绩总评（平时 30%、期中 30%、期末 40%）、算平均分时某些科目学分更高、频数分布表里用组中值估算。关键区别只有一个：每个数「说话的分量」不一样。权重全相等时，加权平均数就退化成普通平均数。
- 算平均数先求和再除以个数，别漏掉任何一个数据
- 加权平均数不是「权重乘完就完」，最后还要除以权重之和
- 频数分布表中未知具体数据时，用组中值代表该组估算平均数
- 两个班的平均分要合成全年级平均分，必须用加权（人数做权重），不能把两个平均分再平均
现实里能做什么
为什么「人均」经常被吐槽
五个人加老板平均月薪 6071 元，但五个人其实都拿四千上下——老板的 2 万把平均数抬起来了。平均数把每个人的信息都用上了（这是它的优点），所以也把每个人的极端值都反映了进去（这是它的软肋）。「平均工资」「人均住房面积」的争议，本质都是极端值在作怪。理解了「支点」模型，就知道为什么一个重物能拉动整个支点。
知识要点
- 平均数：x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n
- 本质：它是「重心」——每个数据到它的偏差之和恰好为 0，即 Σ(x − x̄) = 0
- 平均数一定在最小值与最大值之间
- 加权平均数：x̄ = (x₁w₁ + x₂w₂ + … + xₙwₙ) ÷ (w₁ + w₂ + … + wₙ)
- 权重可以是频数、百分比、比例：算术 80 占 40%、期末 90 占 60% → 80×0.4 + 90×0.6 = 86
- 频数分布表求平均数：用「组中值 × 频数」求和再除以总数
典型例题（点击展开题解）
例 1某小组 8 名同学的跳远成绩（单位：米）为：2.0, 2.2, 2.4, 2…
某小组 8 名同学的跳远成绩（单位：米）为：2.0, 2.2, 2.4, 2.4, 2.6, 2.8, 3.0, 3.0，求平均成绩。
- 求所有数据之和。2.0+2.2+2.4+2.4+2.6+2.8+3.0+3.0 = 20.4
- 除以数据个数。20.4 ÷ 8 = 2.55
- 平均成绩 2.55 米，介于最小值 2.0 与最大值 3.0 之间 ✓。
2.55 米
例 2某学生平时成绩 80 分（占 40%）、期中 85 分（占 30%）、期末 …
某学生平时成绩 80 分（占 40%）、期中 85 分（占 30%）、期末 90 分（占 30%），求学期总评成绩。
- 各科成绩乘各自权重后求和。80×0.4 + 85×0.3 + 90×0.3
- 逐项计算。32 + 25.5 + 27 = 84.5
- 权重之和 0.4+0.3+0.3 = 1，直接就是结果。
- 注意不能 (80+85+90)/3 ≈ 85——权重不同时必须加权。
84.5 分
例 3已知 5 个数据 3, 5, 7, x, 10 的平均数是 7，求 x。
已知 5 个数据 3, 5, 7, x, 10 的平均数是 7，求 x。
- 平均数 × 个数 = 总和。7 × 5 = 35
- 已知数据之和。3 + 5 + 7 + 10 = 25
- 差就是 x。x = 35 − 25 = 10
- 这类题反过来考加权平均数也一样：先算总和再补差。
x = 10