方差与标准差
讲解
甲组（蓝）是 7、8、8、9、9，乙组（红）围绕 8 摆动。两条竖直虚线段标出每个点到平均数 8 的偏差——注意甲乙的偏差正负之和都是 0，所以必须先平方。拖动滑块把乙组拉开：乙的偏差线段变长，方差读数一路上涨，而甲的方差始终是 0.4。
计算方差的标准流程四步：求平均数 → 求每个偏差 → 偏差平方 → 取平均。例如甲组：偏差 −1, 0, 0, 1, 1，平方后 1, 0, 0, 1, 1，和为 2，除以 5 得方差 0.4。标准差 √0.4 ≈ 0.63，单位与原数据相同。
- 方差公式里分母是「数据的个数」，不是「数据的范围」
- 先算准平均数——平均数错，后面全错
- 方差带平方单位，描述波动时常用标准差（开方后的值）
- 数据全体加 a：平均数加 a，方差不变；全体乘 k：平均数乘 k，方差乘 k²
现实里能做什么
选射击选手，看平均还是看方差
甲、乙两名射手各打 5 枪，平均环数都是 8 环。甲的成绩是 7、8、8、9、9（稳），乙是 6、8、9、9、10（大起大落）。比赛要的是「稳定发挥」，所以选方差小的甲。工厂质检、投资理财、机器精度评价，用的都是同一套逻辑：平均水平看平均数，稳定程度看方差。
知识要点
- 方差：s² = [(x₁−x̄)² + (x₂−x̄)² + … + (xₙ−x̄)²] ÷ n
- 为什么要平方：偏差之和恒为 0（正负抵消），平方后全是非负数才能反映「散的程度」
- 方差越大，数据波动越大；方差为 0 当且仅当所有数据相同
- 标准差 = 方差的算术平方根，单位与原数据一致，实际中更常用
- 比较波动的前提：两组数据的平均数相同或接近
- 重要性质：每个数据都加同一个数，平均数跟着变、方差不变；都乘同一个数 k，方差变为 k² 倍
典型例题（点击展开题解）
例 1求数据 4, 5, 6, 7, 8 的方差和标准差。
求数据 4, 5, 6, 7, 8 的方差和标准差。
- 先求平均数。x̄ = (4+5+6+7+8) ÷ 5 = 6
- 求每个偏差并平方。(−2)², (−1)², 0², 1², 2² = 4, 1, 0, 1, 4
- 平方和除以个数。s² = (4+1+0+1+4) ÷ 5 = 2
- 开方得标准差。s = √2 ≈ 1.414
方差 2，标准差 √2 ≈ 1.414
例 2甲、乙两名射手各射击 5 次，甲：7, 8, 8, 9, 9；乙：6, 8,…
甲、乙两名射手各射击 5 次，甲：7, 8, 8, 9, 9；乙：6, 8, 9, 9, 10。谁的成绩更稳定？
- 先算平均数——比方差的前提。x̄甲 = x̄乙 = 8
- 甲的偏差平方：1, 0, 0, 1, 1。s²甲 = 2 ÷ 5 = 0.4
- 乙的偏差平方：4, 0, 1, 1, 4。s²乙 = 10 ÷ 5 = 2
- 方差小的更稳定。s²甲 < s²乙 ⇒ 甲更稳定
甲更稳定（0.4 < 2）
例 3数据 1, 2, 3, 4, 5 的方差是 2。若把每个数据都加上 10，新…
数据 1, 2, 3, 4, 5 的方差是 2。若把每个数据都加上 10，新数据的平均数和方差是多少？
- 原平均数是 3，每个数据加 10 后平均数也加 10。新平均数 = 13
- 每个数据加同一个数，波动幅度不变。新方差 = 2（不变）
- 直观理解：整组数据平移，相对位置（偏差）完全没变。
- 拓展：若每个数据都乘 2，平均数乘 2，方差乘 2² = 4（即 8）。
平均数 13，方差仍为 2